Question

8．如图，已知A（3，0）、B（3，$\sqrt{3}$）、C（1，0），点P为OB上的一动点，则PA+PC的最小值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作出点C关于OP的对称点C′，然后由轴对称的性质和特殊锐角三角函数，求得点C′的坐标，最后根据两点间的距离公式求得C′A的长度，从而求得PC+PA的最小值．

解答 解：如图所示：作出点C关于OP的对称点C′．
 
∵点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠BOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BOA=30°．
由轴对称的性质可知：OC=OC′=1，∠C′OP=∠COP=30°，
∴sin60°×OC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°×OC′=$\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$．
∴点C′的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
由两点间的距离公式可知：C′A=$\sqrt{（3-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
由两点之间线段最短可知；当C′、P、A在一条直线上时，点PA+PC′有最小值
∴PA+PC的最小值=PA+PC′=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查的是轴对称的性质、特殊锐角三角函数、勾股定理，明确当C′、P、A在一条直线上时，点PA+PC′有最小值是解题的关键．