Question

1．如图1，已知抛物线y=a（x²-2mx-3m²）（a＞0，m＞0）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．交y轴于点C．

（1）若m=1．求AB的长度；
（2）若a=1，m=1，P是对称轴右侧抛物线上的点．当∠ACP=∠ABC时，求P点坐标；
（3）如图2．当am=1时．点N（0，n）在y轴负半轴上（点N在点C下方），直线NB交抛物线于另一点D，直线NA交抛物线于另一点E，作EM⊥x轴于M．若$\frac{ND}{BD}$=$\frac{1}{2}$．试判断$\frac{EM}{ON}$是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将m=1代入得：y=a（x²-2x-3），令y=0得：a（x-3）（x+1）=0，用因式分解法求得方程的解，然后可得到点A和点B的坐标，故此可得到AB的长；
（2）将a=1，m=1代入得y=x²-2x-3，然后再求得点C和点B的坐标，从而可知∠OCB=45°，故此∠ACP=45°，过点A作AD，⊥AC，取AD=AC，作射线CD交抛物线与点P，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．接下来证明△ACO≌△DAE，于是可得到点D的坐标为（2，1），然后再求得CD的解析式，最后将y=2x-3与y=x²-2x-3联立可求得点P的坐标；
（3）先求得点A和点B的坐标（用含m的式子表示），过点D作DK⊥AB，垂足为K，然后证明△ODB∽△ONB，依据相似三角形的性质可得到点K的坐标为（m，0），然后再求得点D和点N的坐标（用含a、m的式子表示），接下来，再利用待定系数法求得直线AN的解析式，将AN的解析式与抛物线的解析式联立可求得点E的横坐标，再证明△EMA∽△NOA，最后依据$\frac{ME}{ON}$=$\frac{AM}{OA}$求解即可．

解答 解：（1）将m=1代入得：y=a（x²-2x-3），令y=0得：a（x-3）（x+1）=0，
∵a≠0，
∴（x-3）（x+1）=0，解得：x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∴AB=4．

（2）将a=1，m=1代入得y=x²-2x-3．
将x=0代入得y=-3，
∴C（0，-3）．
令y=0得：x²-2x-3=0，由（1）可知：A（-1，0），B（3，0）．
∴OC=OB=3．
∴∠ABC=45°．
∵∠ACP=∠ABC，
∴∠ACP=45°．
如图1所示：过点A作AD，⊥AC，使AD=AC，作射线CD交抛物线与点P，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．

∵AD⊥AC，且AD=AC，
∴∠ACD=45°，即∠ACD=∠ABC．
∵∠CAE+∠EAD=90°，∠CAE+∠ACO=90°，
∴∠EAD=∠ACO．
在△ACO和△DAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠ACO}\\{∠AED=∠AOC=90°}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△DAE．
∴AE=OC=3，DE=AO=1．
∴点D的坐标为（2，1）．
设CD的解析式为y=kx+b，将点C和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得k=2，b=-3，
∴直线CD的解析式为y=2x-3．
将y=2x-3与y=x²-2x-3联立，解得x=4，y=5．
∴点P的坐标为（4，5）．

（3）∵y=a（x²-2mx-3m²）=a（x+m）（x-3m），
∴A（-m，0），B（3m，0）．
如图2所示：过点D作DK⊥AB，垂足为K．

∵DK∥ON，
∴△ODB∽△ONB．
∴$\frac{OD}{ON}=\frac{BK}{OB}=\frac{BD}{BN}$．
∵$\frac{ND}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{ON}=\frac{BK}{OB}=\frac{BD}{BN}$=$\frac{2}{3}$．
∴点K的坐标为（m，0）．
将x=m代入代入抛物线的解析式得：y=-4am²，
∴点D的坐标为（m，-4am²），则N（0，-6am²）．
设直线AN的解析式为y=kx+b，将点N和点A的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6a{m}^{2}}\\{-mk+b=0}\end{array}\right.$，
解得b=-6am²，k=-6am．
∴直线AN的解析式为y=-6amx-6am²．
∵am=1，
∴直线AN的解析式为y=-6x-6m．
将y=-6x-6m与y=a（x+m）（x-3m）联立，解得x₁=-m（点A的横坐标），x₂=-$\frac{3}{a}$．
∴点E的横坐标为-$\frac{3}{a}$．
∵EM∥ON，
∴△EMA∽△NOA．
∴$\frac{ME}{ON}$=$\frac{AM}{OA}$，即$\frac{ME}{ON}$=$\frac{\frac{3}{a}-m}{m}$=$\frac{3}{am}$-1．
∵am=1，
∴$\frac{ME}{ON}$=$\frac{3}{1}$-1=2．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了因式分解法解方程，等腰直角三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，构造等腰直角三角形ADC，并求得点D的坐标是解答问题（2）的关键；求得点E的横坐标是解答问题（3）的关键．