Question

已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，BD＞AD，∠A=∠ACD，
（1）若∠A=∠B=30°，BD=，求CB的长；
（2）过D作∠CDB的平分线DF交CB于F，若线段AC沿着AB方向平移，当点A移到点D时，判断线段AC的中点E能否移到DF上，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∠ACD=30°，
∴∠DCB=90°，
∵BD=，
∴CB=BD•cos30°=；

（2）AC的中点E能移到DF上．
∵∠CDB=∠A+∠DCA，∠A=∠DCA，
∴∠CDB=2∠A，又DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠FDB=∠A，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴=，
∵BD＞AD，
∴=，＞，
∴DF＞AC，
过E作EE′∥AD交DF于E′，
则四边形AEE′D为平行四边形，
则DE′=DE，
由于DF＞AC=AE=DE′，
所以说E′在线段DF上．
分析：（1）求CB的长，依据已知条件去做；利用外角性质得，∠BDC=∠A+∠ACD=60°，△BCD中，∠BCD=180°-30°-60°=90°，BD=，CB=BD•cos30°=；
（2）AC的中点E能移到DF上，则DF＞AC根据题中条件证明△BDF∽△BAC，则有=，BD＞AD，=＞，DF＞AC．从而说明所以说E′在线段DF上．
点评：考查相似三角形的判定，解直角三角形，平行四边形的性质．