Question

【题目】定义：若两个函数y1和y2的自变量x的取值范围相同，我们不妨把y1和y2的比值y称为x的比函数，且比函数的自变量x的取值范围不发生改变．例如：y1＝x2+2x（x＞0），y2＝x（x＞0），则x的比函数为y＝＝x+2（x＞0）．

（1）已知y1＝x2﹣4（2≤x≤3），y2＝x+2（2≤x≤3），写出x的比函数y的解析式，并求出y的取值范围；

（2）已知y1＝x+2（x＞1），y2＝x﹣2（x＞1），求x的比函数y的图象上的整数点（横坐标和纵坐标都为整数的点）的坐标；

（3）已知y1＝x2﹣x+1，y2＝x2+x+1，若x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2，0≤y≤1；（2）整数点的坐标为（3，5），（4，3），（6，2）；（3）当k≤4时，x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点．

【解析】

（1）根据比函数的定义即可得出答案；

（2）先根据比函数的定义写出x的比函数，再将比函数化简成一个整数加上一个分式的形式，即可得出答案；

（3）先根据比函数的定义写出x的比函数，再求出比函数y的取值范围，根据“x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点”得出x2+2x+k的取值范围，即可得出答案.

解：（1）x的比函数为y＝，

∵2≤x≤3，

∴0≤y≤1；

（2）x的比函数为y＝，

∵x＞1，

∴x＝3时，y＝5；x＝4时，y＝3；x＝6时，y＝2，

∴x的比函数图象上的整数点的坐标为（3，5），（4，3），（6，2）；

（3）x的比函数为y＝，

当x＞0时，x+≥2，

∴≤y＜1，

当x＜0时，x+≤﹣2，

∴1＜y≤3，

∴≤y≤3且y≠1，

∵x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点，

∴x2+2x+k≤3，

∵当x＝﹣1时，抛物线的最小值为k﹣1，

∴k﹣1≤3，即k≤4，

∴当k≤4时，x的比函数y的图象与抛物线y3＝x2+2x+k（k为常数）存在交点．