Question

【题目】在中，，，，圆在内自由移动.若的半径为1，则圆心在内所能到达的区域的面积为______.

Answer 1

【答案】24

【解析】

根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.

如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接BE，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，EK⊥BC于K，作FJ⊥BC于J．

∵，，，

∴AB=

根据圆的性质可知BH平分∠ABC

∴故CH=HM,设CH=x=HM，则AH=12-x，BM=BC=9,

∴AM=15-9=6

在Rt△AMH中，AH2=HM2+AM2

即AH2=HM2+AM2

（12-x）2=x2+62

解得x=4.5

∵EK∥AC，

∴△BEK∽△BHC，

∴，即

∴BK=2，

∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，

∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，

∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，

∴△EFG∽△ACB，

故,即

解得FG=8

∴圆心在内所能到达的区域的面积为FG×EF=×8×6=24,

故答案为24.