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【题目】如图,已知直线y2x+4分别交x轴,y轴于点AB,抛物线过AB两点,点P是线段AB上一动点,过点PPCx轴于点C,交抛物线于点D

1)若抛物线的解析式为y=﹣2x22x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N

直接写出点MN的坐标.

若四边形MNPD为平行四边形,请求出点P的坐标.

2)当点P的横坐标为﹣1时,是否存在这样的抛物线,使得以BPD为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】1)①M N;②P;(2)存在,y=﹣2x22x+4y=﹣x23x+4

【解析】

1)①抛物线的对称轴为:直线x=﹣,进而,即可求解;②PD=﹣2m22m+4﹣(2m+4)=﹣2m24m,当PDMN时,四边形MNPD为平行四边形,即可求解;

2)分两种情况,分别求解即可.

1)①抛物线的对称轴为:直线x=﹣,则点M的坐标为(﹣),

x=﹣时,y2x+43

∴点N(﹣3);

②∵M(﹣),N(﹣3),

MN3

P点坐标为(m2m+4),则Dm,﹣2m22m+4),

PD=﹣2m22m+4﹣(2m+4)=﹣2m24m

PDMN

∴当PDMN时,四边形MNPD为平行四边形,即﹣2m24m

解得:m1=﹣(舍去),m2=﹣

P点坐标为(﹣1);

2)存在.如图,OB4OA2,则AB

∵当x=﹣1时,y2x+42

P(﹣12),

PB

设抛物线的解析式为yax2+bx+4

A(﹣20)代入得:4a2b+40,解得:b2a+2

∴抛物线的解析式为:yax2+2a+1x+4

∴当x=﹣1时,yax2+2a+1x+4a2a2+42a

即:D(-12a).

PD2a2=﹣a

DCOB

∴∠DPB=∠OBA

①当时,△PDB∽△BOA,即 ,解得a=﹣2

此时抛物线解析式为:y=﹣2x22x+4

②当时,△PDB∽△BAO,即,解得a=﹣

此时抛物线解析式为:y=﹣x23x+4

综上所述,所求抛物线的解析式为:y=﹣2x22x+4y=﹣x23x+4

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