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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,点M是边AB的中点,连结CM,点P从点C出发,以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止,以PC为边作正方形PCDE,点D落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).
(1)当t=时,点E落在△MBC的边上;
(2)以E为圆心,1cm为半径作圆E,则当t=时,圆E与直线AB或直线CM相切.

【答案】
(1)
(2) ;5
【解析】解:(1)如图1,∵四边形PCDE是正方形,
∴DP∥AC,
=
=
解得t= ;(2)如图2,当点E在△ABC的内部时,圆E与直线AB相切,EF⊥
AB,且EF=1时,

连接AE、BE、CE,
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
×AB×EF+ + ×BC×EP= ×AC×BC,
×10×1+ ×8×t+ ×6×t= ×8×6,
解得t=
如图3,当点E在△ABC的外部时,圆E与直线AB相切,EG⊥AB,且EG=1时,

∵∠EGH=∠BPH,∠EHG=∠BHP,
∴∠GEH=∠PBH,
∴cos∠GEH=cos∠ABC= = ,又EG=1,
∴EH=
= ,∴HP=
+ =t,
解得t=
如图4,当圆E与直线CM相切时,EN=1,

作MR∥BC,则MR= BC=3,CR= AC=4,
∵点M是边AB的中点,
∴CM= AB=5,
tan∠ACM= =
= ,CD=t,
则QD= t,EQ= t,
∵∠NEQ=∠ACM,
= =
解得t=5.

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