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【题目】图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα= ,tan ,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1m,水面宽多少( 取1.41,结果精确到0.1m)?

【答案】
(1)解:过点P作PH⊥OA于H,如图.

设PH=3x,

在Rt△OHP中,

∵tanα= =

∴OH=6x.

在Rt△AHP中,

∵tanβ= =

∴AH=2x,

∴OA=OH+AH=8x=4,

∴x=

∴OH=3,PH=

∴点P的坐标为(3,


(2)解:若水面上升1m后到达BC位置,如图,

过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x﹣4),

∵P(3, )在抛物线y=ax(x﹣4)上,

∴3a(3﹣4)=

解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣ x(x﹣4).

当y=1时,﹣ x(x﹣4)=1,

解得x1=2+ ,x2=2﹣

∴BC=(2+ )﹣(2﹣ )=2 =2×1.41=2.82≈2.8.

答:水面上升1m,水面宽约为2.8米.


【解析】(1)过点P作PH⊥OA于H,如图,设PH=3x,运用三角函数可得OH=6x,AH=2x,根据条件OA=4可求出x,即可得到点P的坐标;(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题.

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