【题目】如图,抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0),交y轴于点B(0,
).直线y=kx
过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.
(1)求抛物线y= x2+bx+c与直线y=kx
的解析式;
(2)设点P是直线AD下方的抛物线上一动点(不与点A、D重合),过点P作y轴的平行线,交直线AD于点M,作DE⊥y轴于点E.探究:是否存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形?若存在请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,作PN⊥AD于点N,设△PMN的周长为m,点P的横坐标为x,求m与x的函数关系式,并求出m的最大值.
【答案】
(1)
解:∵y= x2+bx+c经过点A(﹣2,0)和B(0,
)
∴由此得 ,解得
∴抛物线的解析式是y= x2﹣
x﹣
;
∵直线y=kx 经过点A(﹣2,0)
∴﹣2k+ =0,
解得:k= ,
∴直线的解析式是 y= x+
(2)
解:可求D的坐标是(8,7 ),点C的坐标是(0,
),
∴CE=6,
设P的坐标是(x, x2﹣
x﹣
),则M的坐标是(x,
x+
)
因为点P在直线AD的下方,
此时PM=( x+
)﹣(
x2﹣
x﹣
)=﹣
x2+
x+4,
由于PM∥y轴,要使四边形PMEC是平行四边形,必有PM=CE,
即﹣ x2+
x+4=6
解这个方程得:x1=2,x2=4,
当x=2时,y=﹣3,
当x=4时,y=﹣ ,
因此,直线AD下方的抛物线上存在这样的点P,使四边形PMEC是平行四边形,
点P的坐标是(2,﹣3)和(4,﹣ )
(3)
解:在Rt△CDE中,DE=8,CE=6 由勾股定理得:DC= =10
∴△CDE的周长是24,
∵PM∥y轴,∴∠PMN=∠DCE,
∵∠PNM=∠DEC=90°,∴△PMN∽△CDE,
∴ =
,即
=
,
化简整理得:m与x的函数关系式是:m=﹣ x2+
x+
,
m=﹣ x2+
x+
=﹣
(x﹣3)2+15,
∵﹣ <0,
∴m有最大值,当x=3时,m的最大值是15.
【解析】(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于b、c的方程组,通过解方程组可以求得b、c的值;把点A的坐标代入一次函数解析式,列出关于k的方程,通过解方程求得k的值;(2)根据平行四边形的性质推知EC=PM.易求点D的坐标是(8,7 ),点C的坐标是(0,
),则CE=6.设P的坐标是(x,
x2﹣
x﹣
),则M的坐标是(x,
x+
),
则PM=( x+
)﹣(
x2﹣
x﹣
)=﹣
x2+
x+4,所以由EC=PM得到﹣
x2+
x+4=6,通过解方程求得点P的坐标是(2,﹣3)和(4,﹣
);(3)通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知:
=
,把相关数据代入并整理可以得出m与x的函数关系式是:m=﹣
x2+
x+
=﹣
(x﹣3)2+15,
由抛物线的性质可以得到:m有最大值,当x=3时,m的最大值是15.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对二次函数的性质的理解,了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+3交y轴于点A,交反比例函数y= (k<0)的图象于点D,y=
(k<0)的图象过矩形OABC的顶点B,矩形OABC的面积为4,连接OD.
(1)求反比例函数y= 的表达式;
(2)求△AOD的面积.
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【题目】已知:如图,一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y= 的图象有两个交点A(﹣1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,﹣2),连接DE.
(1)求k的值;
(2)求四边形AEDB的面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | … |
y | … | ﹣3 | 1 | 3 | 1 | … |
则下列判断正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0
D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
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【题目】如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆的高度约为 m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
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【题目】如图,等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上,点P是边AB上的一个动点,过点P的反比例函数y= 的图象交斜边OB于点Q,
(1)当Q为OB中点时,AP:PB=
(2)若P为AB的三等分点,当△AOQ的面积为 时,k的值为
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【题目】图中是抛物线拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα= ,tan
,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1m,水面宽多少( 取1.41,结果精确到0.1m)?
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【题目】如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿x轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1 , 第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2 , 第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3 , 按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An , 如果点An与原点的距离不小于20,那么n的最小值是 .
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