Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0， ）．直线y=kx 过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．

（1）求抛物线y= x2+bx+c与直线y=kx 的解析式；
（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（0， ）

∴由此得 ，解得

∴抛物线的解析式是y= x2﹣ x﹣ ；

∵直线y=kx 经过点A（﹣2，0）

∴﹣2k+ =0，

解得：k= ，

∴直线的解析式是 y= x+

（2）

解：可求D的坐标是（8，7 ），点C的坐标是（0， ），

∴CE=6，

设P的坐标是（x， x2﹣ x﹣ ），则M的坐标是（x， x+ ）

因为点P在直线AD的下方，

此时PM=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）=﹣ x2+ x+4，

由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，

即﹣ x2+ x+4=6

解这个方程得：x1=2，x2=4，

当x=2时，y=﹣3，

当x=4时，y=﹣ ，

因此，直线AD下方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，

点P的坐标是（2，﹣3）和（4，﹣ ）

（3）

解：在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= =10

∴△CDE的周长是24，

∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE，

∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，

∴ = ，即 = ，

化简整理得：m与x的函数关系式是：m=﹣ x2+ x+ ，

m=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣3）2+15，

∵﹣ ＜0，

∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．

【解析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组可以求得b、c的值；把点A的坐标代入一次函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程求得k的值；（2）根据平行四边形的性质推知EC=PM．易求点D的坐标是（8，7 ），点C的坐标是（0， ），则CE=6．设P的坐标是（x， x2﹣ x﹣ ），则M的坐标是（x， x+ ），
则PM=（ x+ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）=﹣ x2+ x+4，所以由EC=PM得到﹣ x2+ x+4=6，通过解方程求得点P的坐标是（2，﹣3）和（4，﹣ ）；（3）通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知： = ，把相关数据代入并整理可以得出m与x的函数关系式是：m=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣3）2+15，
由抛物线的性质可以得到：m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．