Question

18．在Rt△ACE中，CF⊥AE于F，延长CF于D，使CF=FD，连结AD，G为CF上一点，连结AG并延长至B，连结BD和BC，使∠CBA=∠ABD=∠E．
（I）求证：△ACG∽△DBG：
（2）求证：AC²=AG•AB；
（3）若AC=$\sqrt{5}$，AE=5，且CG：CD=1：4．求AB和BD的长．

Answer 1

分析 （1）由∠CGA=∠BGD，根据余角的性质得到∠ACG=∠E，即可得到结论；
（2）通过△ACG∽△DBG，得到∠ACG=∠DBG，由∠ACG=∠CBA，推出△AGC∽ACB 根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到CE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$•AC•CE=$\frac{1}{2}$•AE•CF，求得CF=2 CD=CF+FD=CF+CF=4 AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=1，得到CG=1，根据勾股定理AG=$\sqrt{G{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，由于△ACG∽△DBG，得到比例式$\frac{AC}{DB}=\frac{AG}{DG}$，求得DB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，如果根据比例式$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$，求得BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠CGA=∠BGD，
又∵∠ACG+∠ECG=∠ECG+∠E=90°，
∴∠ACG=∠E，
∴∠ACG=∠ABD，
∴△ACG∽△DBG；

（2）∵∠CAG=∠CAB，
又∵△ACG∽△DBG，
∴∠ACG=∠DBG，
即∠ACG=∠ABD，
∴∠ACG=∠CBA，
∴△AGC∽ACB
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AG}{AC}$，
∴AC²=AB•AG；

（3）∵CE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$•AC•CE=$\frac{1}{2}$•AE•CF，
∴CF=2 CD=CF+FD=CF+CF=4 AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=1，
∵$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{CG}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴CG=1，
∴GF=CF-CG=2-1=1，
∴GD=CD-CG=4-1=3，
∴AG=$\sqrt{G{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，又∵△ACG∽△DBG，
∴$\frac{AC}{DB}=\frac{AG}{DG}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{DB}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴DB=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴$\frac{CG}{BG}=\frac{AG}{DG}$，
∴$\frac{1}{BG}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴BG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=AG+BG，
∴AB=$\sqrt{2}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．