Question

19．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=3，EC=2，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为2或8．

Answer 1

分析 分类讨论：当点F落在边BC上时，如图，利用正方形的性质得AB=AD=DE+CE=5，∠ABF=∠D=90°，利用旋转的性质得AF=AE，则可证明Rt△ABF≌Rt△ADE，所以BF=DE=3，于是得到CF=BC-BF=2；当点F落在BC的延长线上的点F′时，如图，同样可证明Rt△ABF′≌Rt△ADE，得到BF′=DE=3，则CF=BC+BF′=8，于是可判断F、C两点的距离为2或8．

解答 解：当点F落在边BC上时，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DE+CE=3+2=5，∠ABF=∠D=90°，
∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，
∴AF=AE，
在Rt△ABF和Rt△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴BF=DE=3，
∴CF=BC-BF=5-3=2；
当点F落在BC的延长线上的点F′时，如图，
同样可证明Rt△ABF′≌Rt△ADE，
∴BF′=DE=3，
∴CF=BC+BF′=5+3=8，
∴F、C两点的距离为2或8．
故答案为2或8．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．