Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，D、E为⊙O上两点，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，OD与BE交于F点，四边形BCDE是平行四边形．

（1）求证：四边形AODE是平行四边形．；

（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为

【解析】试题分析：（1）连接AE，先证△AEB、△ODC是直角三角形，再证∠DOC＝∠EAB，即可得到AE//OD，再加上ED//AC可得四边形AODE是平行四边形；（2）先证△FED≌△FBO，则求阴影部分面积即求扇形OBD的面积；

试题解析：

（1）连接AE，如图所示：

∵∠AEB是直径AB所对的圆周角，

∴∠AEB＝90o，

∵DC是圆的切线，

∴∠ODC＝90o，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴DE//BC，

∴∠C＝∠ABE

∴∠DOC＝∠EAB

∴AE//OD

∴四边形AODE是平行四边形;

(2)∵四边形BCDE是平行四边形，

∴DC//EB，∠C＝∠BED，

∴∠EDF＝∠BOF

又∵DC是圆的切线，

∴∠OFB＝ODC＝90o，

∴OD是BE的垂直平分线，

∴EF＝BF

在△EFD和△BFO中

∴△EFD≌△BFO（AAS）

∴S△EFD＝S△BFO，

∴S阴影部分＝S扇形OBD ，

∵∠C＝∠BED，∠DOB＝2∠BED，

∴2∠C＝∠DOC

又∵∠ODC＝90o，

∴∠DOC＝60 o

∵⊙O的半径为6，

∴S扇形OBD＝ 。