Question

1．已知如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，先证明OD是中位线得到OD∥AC，由于DE⊥AC，则DE⊥OD，于是根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，而D是BC的中点，根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰三角形，则∠B=∠C=30°，然后在Rt△ABD中利用∠B的余弦可计算出AB的长．

解答 解：（1）连接OD，如图，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵D是BC的中点，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中，∵BD=CD=10，∠B=30°，
∴cosB=cos30°=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ cm，
即⊙O的直径为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ cm．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了三角形中位线性质和等腰三角形的判定与性质．