Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm． M是边AC上的一个动点，连接MB，过点M作MB的垂线交AB于点N． 设AM=x cm，AN=y cm．（当点M与点A或点C重合时，y的值为0）

探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．

（1） 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2		1.6	1.7	1.6	1.2	0

（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AN=AM时，AM的长度约为 cm（结果保留一位小数）．

Answer 1

【答案】（1）1.4； （2）详见解析；（3）3.4．

【解析】

（1）如图，作辅助线：过N作NP⊥AC于P，证明△NPM∽△MCB，列比例式可得结论；
（2）描点画图即可；
（3）同理证明△NPM∽△MCB，列比例式，解方程可得结论．

解：（1）如图，过N作NP⊥AC于P，

Rt△ACB中，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm．
∴BC=
当x=2时，即AM=2，
∴MC=2.5，
∵∠NMB=90°，
易得△NPM∽△MCB，
∴ = ，
设NP=5a，PM=9a，则AP=15a，AN=10a，
∵AM=2，
∴15a+9a=2，
a= ，
∴y=AN=10×1.73×≈1.4；

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2	1.4	1.6	1.7	1.6	1.2	0

故答案为：1.4；

（2）如图所示：

（3）设PN=a，则AN=2a，AP=a，

∵AN=AM，∴AM=4a,
如图，由（1）知：△NPM∽△MCB，
∴，即 ，
解得：a≈0.84，

∴AM=4a=4×0.84=3.36≈3.4（cm）．
故答案为：（1）1.4； （2）详见解析；（3）3.4．