Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点O在AB上，AO=x，⊙O的半径为1．问当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？

Answer 1

分析：由三角形的内角和可求出∠A的大小，根据含30°直角三角形的性质即可得到OD和AO的关系，
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围；
（2）若圆O与AC相切，则有OD=r，求出x的值即可；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．

解答：解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵AO=x，
∴OD=

1

2

AO=

1

2

x，
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，即

1

2

x＞1，解得：x＞2；
（2）若圆O与AC相切，则有OD等于r，即

1

2

x=1，解得：x=2；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，即

1

2

x＜1，解得：0＜x＜2；
综上可知：当x＞2时，AC与⊙O相离；x=2时，AC与⊙O相切；0＜x＜2时，AC与⊙O相交．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．