Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．M、N分别是AB、CD边的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

   （1）求证：∠PNM=2∠CBN；

（2）求线段AP的长．

Answer 1

（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形

∴ AB∥CD，且AB=CD，∠C=90°

∵ M、N分别是AB、CD边的中点

∴ MB∥NC，且MB=NC

∴ 四边形MBCN是矩形

∴ MN∥BC，∠BMN=90°

∴ ∠1=∠2

∵ ∠PNB=∠2+∠PNM=3∠CBN

即：∠2+∠PNM=3∠1

∴ ∠PNM=2∠2，即∠PNM=2∠CBN

（2）解：连接AN

∵ M是AB的中点

∴ AM=BM

∴ ∠AMN=∠BMN =90°，MN=MN

∴ △AMN≌△BMN

∴ ∠2=∠3

∵ MN∥AD∥BC

∴ ∠1=∠2，∠3=∠4

∴ ∠1=∠2=∠3=∠4

∵∠3+∠5=2∠2

∴ ∠3=∠5

∴∠4=∠5

∴ AP=PN

设AP=x，则PD=6- x  在Rt△PDN中，PD²+DN²=PN²

即：(6- x)²+2²= x²，  解得     ∴ AP=