Question

14．请阅读下列材料：若x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁，x₂和系数a，b，c有如下关系：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，我们把它们称为根与系数关系定理．
如果设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$
请你参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值；
（3）设抛物线y=x²+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析 （1）等腰直角三角形的底边是底边上的高的2倍，列出方程，变形即可得出结论；
（2）等边三角形的边长是高的$\frac{2}{\sqrt{3}}$倍，列出方程，变形即可得出结论；
（3）先由∠ACB=90°算出k²，设向下平移m个单位后∠ACB=60°，根据判别式等于12列出方程，算出m．

解答 解：（1）令y=ax²+bx+c=0，
则AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$
抛物线y=ax²+bx+c顶点的纵坐标为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}=2×\frac{{b}^{2}-4ac}{|4a|}$，
两边平方得：$\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}=\frac{（{b}^{2}-4ac）^{2}}{4{a}^{2}}$，
∴b²-4ac=4；
（2）令y=ax²+bx+c=0，
则AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$
抛物线y=ax²+bx+c顶点的纵坐标为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，
∵△ABC为等边三角形，
∴$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}=\frac{2}{\sqrt{3}}×\frac{{b}^{2}-4ac}{|4a|}$，
两边平方得：$\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}×\frac{（{b}^{2}-4ac）^{2}}{16{a}^{2}}$
∴b²-4ac=12；
（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=k²-4=4；
∴k²=8，
设将y=x²+kx+1向下平移m个单位后∠ACB=60°，
平移后的抛物线解析式为：y=x²+kx+1-m，
∴k²-4（1-m）=12，
∴m=2，即向下平移2个单位后∠ACB=60°．

点评 本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点问题，难度并不大．结合韦达定理，得出了当抛物线与x轴于两个交点与顶点构成的三角形是等腰直角三角表和等边三角形时，判别式是两个常数的重要结论，这两个重要结论可以记住，在解决类似的问题时可带来很多方便．