Question

6．在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+4x+4a（0＜a＜2）
（1）当C₁与x轴有唯一一个交点时，求此时C₁的解析式；
（2）如图①，若A（1，y_A），B（0，y_B），C（-1，y_C）三点均在C₁上，连BC作AE∥BC交抛物线C₁于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C₁先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C₂，如图②，抛物线C₂与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C₂相交于P，Q（P在第四象限）且S_△FMQ=2S_△FNP，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据△的意义和抛物线与x轴的交点问题得△=4²-4•a•4a=0，然后解方程求出满足条件的a的值，从而得到此时C₁的解析式；
（2）先用a表示出A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4），再利用待定系数法得到直线BC的解析式为y=（4-a）x+4a，根据两直线平行问题，AE的解析式可设为y=（4-a）x+n，则把A（1，5a+4）代入得n=6a，所以直线AE的解析式为y=（4-a）x+6a，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（4-a）x+6a}\\{y=a{x}^{2}+4x+4a}\end{array}\right.$可得E点和A点坐标，消去y得x²+x-2=0，然后解方程求出x即可得到E点的横坐标，从而得到点E到y轴的距离；
（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，当a=1时，y=（x+2）²，则抛物线C₁的顶点坐标为（-2，0），利用抛物线的几何变换得到抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1，F（1，0），利用抛物线的对称性得FM=FN，再利用三角形面积公式可得QA=2PB，利用平行线分线段成比例定理得FA=2BF，设P（t，t²-2t-1），则BF=t-1，AF=2（t-1），则OA=2（t-1）-1=2t-3，所以Q[3-2t，（3-2t）²-2（3-2t）-1]，然后利用AQ=2PB得到（3-2t）²-2（3-2t）-1=-2（t²-2t-1），解得t₁=0（舍去），t₂=2，于是得到P（2，-1），Q（-1，2），最后利用待定系数法确定直线l的解析式．

解答 解：（1）根据题意得△=4²-4•a•4a=0，解得a₁=1，a₂=-1，
而0＜a＜2，
所以a=1，
所以此时C₁的解析式为y=x²+4x+4；
（2）根据题意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4），
设直线BC的解析式为y=kx+4a，
把C（-1，5a-4）代入得-k+4a=5a-4，解得k=4-a，
∴直线BC的解析式为y=（4-a）x+4a，
∵BC∥AE，
∴AE的解析式可设为y=（4-a）x+n，
把A（1，5a+4）代入得4-a+n=5a+4，解得n=6a，
∴直线AE的解析式为y=（4-a）x+6a，
方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（4-a）x+6a}\\{y=a{x}^{2}+4x+4a}\end{array}\right.$消去y得x²+x-2=0，解得x₁=1，x₂=-2，
∴E点的横坐标为-2，
∴点E到y轴的距离为2；
（3）作QA⊥x轴于A，PB⊥x轴于B，如图，
当a=1时，y=x²+4x+4=（x+2）²，抛物线C₁的顶点坐标为（-2，0），把点（-2，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，-2），
所以抛物线C₂的解析式为y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1，则抛物线的对称轴为直线x=1，所以F（1，0）
∵抛物线C₂与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），
∴FM=FN，
∵S_△FMQ=2S_△FNP，
∴QA=2PB，
∵AQ∥PB，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{QA}{PB}$=2，即FA=2BF，
设P（t，t²-2t-1），则BF=t-1，
∴AF=2（t-1），
∴OA=2（t-1）-1=2t-3，
∴Q[3-2t，（3-2t）²-2（3-2t）-1]
∴（3-2t）²-2（3-2t）-1=-2（t²-2t-1），
整理得t²-2t=0，解得t₁=0（舍去），t₂=2，
∴P（2，-1），Q（-1，2），
设直线PQ的解析式为y=px+q，
把P（2，-1），Q（-1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=-1}\\{-p+q=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-x+1．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；会利用△确定抛物线与x轴的交点个数，利用待定系数法求函数解析式；记住三角形面积公式和运用相似比求线段之间的关系．