Question

17．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD．
（1）设AB=4m，用含m的代数式表示AE和EF的长；
（2）求证：∠AEB=∠EFC．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2m，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4m）^{2}+（2m）^{2}}$=2$\sqrt{5}$m²，通过△ABE∽△CEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CE}=\frac{AE}{EF}$，代入数据即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=2m，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4m）^{2}+（2m）^{2}}$=2$\sqrt{5}$m²，
∵$\frac{CE}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=$\frac{1}{4}$•4m=m，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{m}{2m}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CF}{BE}$，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△CEF，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{AE}{EF}$，
∴$\frac{4m}{2m}=\frac{2\sqrt{5}m}{EF}$，
∴EF=$\sqrt{5}$m；

（2）∵△ABE∽△CEF，
∴∠AEB=∠EFC．

点评 不要看错了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．