Question

12．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，FG⊥BC于G．求证：$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CF}{FG}$．

Answer 1

分析 延长BA，GF相交于点H，可得到△HAF∽△CGF，由相似三角形的性质得到$\frac{AE}{FH}$=$\frac{GE}{GF}$，即AF•CF=FG•HF，然后只要证明FG=HF即可．

解答 证明：延长BA，GF相交于点H，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠FGC=∠BCC，
∵∠1=∠2，
∴△HAF∽△CGF，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{HF}{CF}$，即AF•CF=FG•HF，
∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠4=∠5=90°，
∴AD∥HG，
∴∠3=∠H，
∵∠3=∠H，∠6=∠6，
∴△ABE∽△BHF，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AE}{FH}$，
∵∠4=∠5，∠7=∠7
∴△BED∽△BFG，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{GE}{GF}$，
∴$\frac{AE}{FH}$=$\frac{GE}{GF}$，
∵E是CD的中点，
∴AE=DE，
∴FH=FG，
∵AF•CF=FG•HF，
∴CF•BF=FG•FG
∴$\frac{FG}{AF}$=$\frac{CF}{FG}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定方法与性质，比例的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．