Question

7．已知二次函数y=ax²+bx的图象经过点A（-5，0）和点B，其中点B在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$
（1）求点B的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，根据正切的定义可设BD=x，AD=2x，在Rt△ODB中根据勾股定理可计算出x，则BD=4，OD=3，所以点B的坐标是（3，4）；
（2）利用待定系数法可确定二次函数的解析式；
（3）先确定C点的坐标为（-8，4），则BC=11，AB=4$\sqrt{5}$，由CB∥x轴得到∠ABC=∠BAP，再分类讨论：当△ABC∽△BAP；当△ABC∽△PAB，然后利用比例线段求AP的长，从而确定P点坐标

解答 解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，如图，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵tan∠BAO=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{2}$
∴设BD=x，AD=2x．
∵OA=0B=5，
∴OD=2x-5，
在Rt△ODB中，∵OD²+BD²=OB²，
∴（2x-5）²+x²=5²，
解得x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴BD=4，OD=3，
∴点B的坐标是（3，4），
（2）∵根据题意得$\left\{\begin{array}{l}25a-5b=0\\ 9a+3b=4\end{array}\right.$，解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{6}\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x．

（3）如图2，∵直线BC平行于x轴，
∴C点的纵坐标为4，
设C点的坐标为（m，4）．
由题意得$\frac{1}{6}$m²+$\frac{5}{6}$m=4，解得m₁=3（不合题意，舍去），m₂=-8，
∴C点的坐标为（-8，4），BC=11，AB=4$\sqrt{5}$．
∵∠ABC=∠BAP，
①如果△ABC∽△BAP，那么$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AB}{AP}$，
∴AP=11，点P₁的坐标为（6，0），
②如果△ABC∽△PAB，那么$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AP=$\frac{80}{11}$，点P₂的坐标为（$\frac{25}{11}$，0），
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（$\frac{25}{11}$，0）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．