Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．

（1）求点A，B的坐标；

（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；

（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）；（2）y＝x2﹣x+；（3）y＝x2﹣x+．

【解析】

（1）根据抛物线解析式求解与x轴的交点坐标即y=0是x的值，即可得出A，B的坐标；

（2）根据三角形ACD是等边三角形可知∠OCA的度数，根据三角函数值可求点C坐标，从而可求答案；

（3）过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，根据点E坐标进一步求△CFE∽△EGD，进而可求答案.

（1）y＝ax2﹣5ax+4a，令y＝0，则x＝1或4，

∵点A在点B的左边

故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（4，0）；

（2）∵点A坐标为（1,0），∴OA=1

∵△ACD是等边三角形，∴∠DCA=60°

当CD∥x轴时，∠DCO=90°

∴∠ACO=30°，则∠OCA＝60°，

则OC＝OAtan60°=，故点C（0，），

即＝4a，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：；

（3）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作x轴的垂线于点H，过点E作EF∥x轴交y轴于点F交DH于点G，

∵△ACD为等边三角形，则点E为AC的中点，则点E（，2a），AE＝CE＝ED，

∵∠CEF+∠FCE＝90°，∠CEF+∠DEG＝90°，∴∠DEG＝∠ECF，

∴△CFE∽△EGD，∴，其中EF＝，CF＝2a，

解得：GE＝a，DG＝，故点D（），

BD2＝（，

故当a＝时，BD最小，

故抛物线的表达式为：y＝．