Question

20．如图，P为⊙0外一点，A为⊙0上一点，直线OP交⊙0于B、C，连接AB、AC，且∠PAB=∠C．
（1）说明：直线PA与⊙0相切．
（2）若PA=2，PB=1时，求⊙0的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据直径所对的圆周角等于90°，可得出∠OAB+∠OAC=90°，根据等边对等角得出∠OAC=∠OCA，再由∠PAB=∠C得出∠PAO=90°，即可得出直线PA与⊙0相切；
（2）设⊙0的半径为r，在Rt△PAO中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解方程即可得出⊙0的半径．

解答 解：（1）证明：连接OA，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
即∠OAB+∠OAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠PAB=∠C，
∴∠OAB+∠PAB=90°，
即∠PAO=90°，
∴直线PA与⊙0相切；
（2）设⊙0的半径为r，
∵直线PA与⊙0相切
∴∠PAO=90°，
在Rt△PAO中，OA²+PA²=OP²，
∵PA=2，PB=1，
∴r²+2²=（r+1）²，
解得r=$\frac{3}{2}$，
∴⊙0的半径$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．