Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）请用两个三角形相似的方法求线段OM的长度．
（2）请使用锐角三角函数的方法求线段OM的长度．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知AB⊥MN，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明△COM∽△CBA，先求得AC的长，由翻折的性质可知OC=$\frac{1}{2}$AC，然后利用相似三角形的性质进行求解即可．
（2）根据在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，在Rt△MOC中，tan∠MCO=$\frac{OM}{OC}$，所以$\frac{AB}{BC}=\frac{OM}{OC}$，即可解答．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：AC⊥MN，
∴∠MOC=∠B=90°．
又∵∠OCM=∠BCA，
∴△COM∽△CBA．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10．
由翻折的性质可知：OC=$\frac{1}{2}$AC=5．
∵△COM∽△CBA，
∴$\frac{OM}{AB}=\frac{OC}{BC}$，即$\frac{OM}{6}=\frac{5}{8}$．
解得：OM=$\frac{15}{4}$．
（2）∵在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$，
在Rt△MOC中，tan∠MCO=$\frac{OM}{OC}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{OM}{OC}$
$\frac{6}{8}=\frac{OM}{5}$
∴OM=$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键．