Question

9．如图，四边形OABC是边长为2的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）若OP=$\sqrt{2}$AP，求四边形BMDN的面积S．

Answer 1

分析 （1）作ME⊥x轴于E，根据正方形的性质和题意证明△MPE≌△PCO，得到ME=PO=t，EP=OC=2，得到答案；
（2）连接AM，证明矩形AEMF是正方形和四边形OAMN是平行四边形，得到MN=OA，得到答案；
（3）根据相似三角形的性质求出BD的长，根据四边形BMDN的面积S=$\frac{1}{2}$MN•BD计算即可．

解答 解：（1）作ME⊥x轴于E，
则∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEP=∠POC}\\{∠PME=∠CPO}\\{PM=CP}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=2，
∴OE=t+2，
∴M（t+2，t）；
（2）线段MN的长度不发生改变；
理由如下：连接AM，
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四边形AEMF是矩形．
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴矩形AEMF是正方形．
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
又∵MN∥OA，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN=OA=2（为定值）；
（3）∵OP=$\sqrt{2}$AP，OA=2，
∴$\sqrt{2}$AP+AP=2，
解得AP=2（$\sqrt{2}$-1），
∴t=OP=2-2（$\sqrt{2}$-1）=2（2-$\sqrt{2}$），
∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴$\frac{AD}{EM}$=$\frac{PA}{PE}$，即$\frac{AD}{t}$=$\frac{2-t}{2}$，
∴AD=-$\frac{1}{2}$t²+t=-$\frac{1}{2}$×[2（2-$\sqrt{2}$）]²+2（2-$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-8，
∴BD=AB-AD=2-（6$\sqrt{2}$-8）=10-6$\sqrt{2}$，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四边形BMDN的面积S=$\frac{1}{2}$MN•BD，
=$\frac{1}{2}$×2×（10-6$\sqrt{2}$）
=10-6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用以及四边形的面积公式的应用．