Question

【题目】四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8． ①连结OE，求△OBE的面积．
②求扇形AOE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE=EC，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB为直径，且过点E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：①连结OF，

∵DC的延长线于半圆相切于点F，

∴OF⊥CF，

∵FC∥AB，

∴OF即为△ABD中AB边上的高，

∴S△ABD= AB×OF= ×8×4=16，

∵点O是AB中点，点E是BD的中点，

∴S△OBE= S△ABD=4；

②过点D作DH⊥AB于点H，

∵AB∥CD，OF⊥CF，

∴FO⊥AB，

∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°，

∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，

∵在Rt△DAH中，sin∠DAB= = ，

∴∠DAH=30°，

∵D点O，E分别为AB，BD中点，

∴OE∥AD，

∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°，

∴S扇形AOE= = π．

【解析】（1）首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，进而利用菱形的判定方法得出答案；（2）①首先求出△ABD的面积进而得出S△OBE= S△ABD；②首先求出扇形AOE的圆心角，进而利用扇形面积求出答案．