Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）求证：△ADE≌△CDF．
（2）把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．请判断AH与ED的位置关系，并说明理由．
（3）求AG的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDF全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再根据平移的性质可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，再求出∠1+∠4=90°，然后求出∠AGD=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（3）根据中点的定义求出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据△ADE的面积列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE和△CDF中，

AD=DC ∠BAD=∠DCF=90° AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）AH⊥ED．
理由如下：如图，∵△ADE≌△CDF，
∴∠1=∠2，
由平移性质，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=∠BAD=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AH⊥ED；

（3）∵正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
∴AE=

1

2

×2=1，AD=2，
∴ED=

AE2+AD2

=

12+22

=

5

，
∴S_△AED=

1

2

AE•AD=

1

2

ED•AG，
即

1

2

×1×2=

1

2

×

5

•AG，
解得AG=

2 5

5

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积，（3）利用三角形的面积列出方程求解是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．