Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a=﹣；（3）点P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．

【解析】

（1）解方程即可得到结论；根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，

解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；

（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出

EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD

是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．

解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），

∴0=﹣k+b，

即k=b，

∴直线l：y=kx+k，

∵抛物线与直线l交于点A，D，

∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，

即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，

∵CD=4AC，

∴点D的横坐标为4；

（2）由（1）知，点D的横坐标为4，

∴k=a，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a；

过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），

则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF，

∴△ACE的面积的最大值=，

∵△ACE的面积的最大值为，

∴

解得

（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，

令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

设P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一条边，

则易得Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ是矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2=22+（26a）2，

即

∵a＜0，

∴

∴

②若AD是矩形APDQ的对角线，

则易得Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），

∵四边形APDQ是矩形，

∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，

即

∵a＜0，

∴

∴P（1，﹣4），

综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点或（1，﹣4）．