【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣ax+6与x轴负半轴交于点A,与x轴的正半轴交于点B,且AB=7.
(1)如图1,求a的值;
(2)如图2,点P在第一象限内抛物线上,过P作PH∥AB,交y轴于点H,连接AP,交OH于点F,设HF=d,点P的横坐标为t,求d与t之间的函数关系式,并直接写出t的取值范围;
(3)如图3,在(2)的条件下,当PH=2d时,将射线AP沿着x轴翻折交抛物线于点M,在抛物线上是否存在点N,使∠AMN=45°,若存在,求出点N的坐标.若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2﹣ax+6与x轴负半轴交于点A,与x轴的正半轴交于点B,且AB=7,
又∵对称轴x=﹣ = ,
∴A(﹣3,0),B(4,0),
把(﹣3,0)代入y=ax2﹣ax+6得a=﹣
(2)
解:由抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6,设P(t,﹣ t2+ t+6),
∵PH∥OA,HF=d,OF=﹣ t2+ t+6﹣d,PH=t,OA=3,
∴ ,
∴ = ,
∴d= t=﹣ +2t(0<t<4)
(3)
解:∵t=PH=2d,
∴d= ,
∴ =﹣ t2+2t,
解得t=3或0(舍弃),
∴P(3,3),点P关于x轴的对称点K(3,﹣3),
∴直线AM的解析式为y=﹣ x﹣ ,
由 解得 或 ,
∵A(﹣3,0),
∴M(5,﹣4),
如图3中,将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG,过点A作y轴的平行线,过点M作x轴的平行线,两直线交于点E,作GD⊥EM交EM的延长线于D.
易知△AME≌△MGD,∴AE=DM=4,EM=DG=8,
∴G(9,4),
取线段AG的中点T(3,2),作直线MT交抛物线于N1,此时∠AMN1=45°,
∵直线MT的解析式为y=﹣3x+11,
由 解得 或 ,
∵M(5,﹣4),
∴N1(2,5).
设点G关于直线AM的对称点为G1,则G1(1,﹣12),取AG1的中点T1,作直线MT1交抛物线于N2,则∠N2MA=45°,
∵直线MT1的解析式为y= x﹣ ,
由 解得 或 ,
∵M(5,﹣4),
∴N2(﹣ ,﹣ ).
综上所述,满足条件的点M的坐标为(2,5)或(﹣ ,﹣ ).
【解析】(1)根据对称轴x= ,以及AB=7,可得A(﹣3,0),B(4,0),利用待定系数法即可求出a的值.(2)由抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6,设P(t,﹣ t2+ t+6),由PH∥OA,HF=d,OF=﹣ t2+ t+6﹣d,PH=t,OA=3,得到 ,列出方程即可解决问题.(3)首先求出直线AM的解析式,利用方程组求得点M的坐标,分两种情形讨论①如图3中,将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MG,过点A作y轴的平行线,过点M作x轴的平行线,两直线交于点E,作GD⊥EM交EM的延长线于D.易知△AME≌△MGD,推出AE=DM=4,EM=DG=8,推出G(9,4),取线段AG的中点T(3,2),作直线MT交抛物线于N1 , 此时∠AMN1=45°,求出直线MT的解析式利用方程组求出交点N的坐标.②设点G关于直线AM的对称点为G1 , 则G1(1,﹣12),取AG1的中点T1 , 作直线MT1交抛物线于N2 , 则∠N2MA=45°,求出直线MT1的解析式,利用方程组即可求出点N1的坐标.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质,需要了解二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为( )
A.1
B.
C.4﹣2
D.3 ﹣4
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=5,BC=12,在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片,第一层小纸片的一条边都在AB上,依次这样往上叠放上去,则最多能叠放个.
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【题目】如图,一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE=BF=CG=DH=xcm,四边形EFGH的面积为ycm2 ,
(1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围;
(2)求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值;
(3)四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗?请说明理由.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB,点A、B均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画出以AB为一边的直角△ABC,点C在小正方形的顶点上,且△ABC的面积为3.
(2)在方格纸中将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后△DEC(点A与点D对应,点B与点E对应),请直接写出点A绕着点C旋转的路径长.
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【题目】为迎接2017年中考,某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,样本中表示成绩类别为“中”的人数;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该中学九年级共有800人参加了这次数学考试,估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论:①abc<0;② ;③ac﹣b+1=0;④OAOB=﹣ .其中正确结论的序号是 .
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【题目】如图,函数y1=﹣x+4的图象与函数y2= (x>0)的图象交于A(m,1),B(1,n)两点.
(1)求k,m,n的值;
(2)利用图象写出当x≥1时,y1和y2的大小关系.
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【题目】在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是( )
A.cosA=
B.tanA=
C.sinA=
D.cosA=
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