Question

【题目】阅读下列两则材料，回答问题，

材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线“

材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8

设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．

（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝　 　，直线y＝2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．

（2）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣）到直线y＝ax+b的直角距离．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）5．

【解析】

（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；求两条直线的交点即可求H点的坐标；

（2）先表示直线y＝ax+b的“互助直线”，并将点M和N分别代入可得方程组，得：（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，对于任意一点M（m，n）等式均成立，求出a，b的值，再根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．

解：（1）∵S（﹣1，6）、T（﹣2，3）则S、T两点的直角距离为d（S，T）＝|﹣1﹣（﹣2）|+|6﹣3|＝4，

∴S（﹣1，6）、T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝4．

直线y＝2x+3的“互助直线”是y＝3x+2，由题意知H是它们的交点，则有：

，解得，，

∴点H的坐标为：H（1，5）．

故答案为：4．

（2）∵点M（m，n）是直线y＝ax+b上的任意一点，

∴am+b＝n①，

∵点N（3m，2m﹣3n）是直线y＝ax+b的“互助直线”上的一点，

即N（3m，2m﹣3n）在直线y＝bx+a上

∴3bm+a＝2m﹣3n②，

将①代入②得，

3bm+a＝2m﹣3（am+b），

整理得：3bm+3am﹣2m＝﹣a﹣3b，

∴（3b+3a﹣2）m＝﹣a﹣3b，

∵对于任意一点M（m，n）等式均成立，

∴，

解得 ，

∴y=x-．

∵Q（x，y）是直线y=x-上的动点，定点L（5，﹣）

∴Q（x，x﹣），

∴d（L，Q）＝|5﹣x|+|﹣﹣（x﹣）|＝|5﹣x|+|﹣x|，

∵当0≤x≤5时，代数式|5﹣x|+|﹣x|有最小值5，

∴点L（5，﹣）到直线y=x-的直角距离是5．