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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线轴交于点,与轴交于点,点的中点,绕点按顺时针旋转,且的一边轴于点,开始时另一边经过点,点坐标为,当旋转过程中,射线轴的交点由点到点的过程中,则经过点三点的圆的圆心所经过的路径长为(

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

此题属于半角型题目.由题意得,圆心始终在线段BC的垂直平分线上,可证BFC是直角三角形,所以一开始经过点三点的圆的圆心在BC的中点N.开始在BC的中点N处,当射线CD经过点G时,如图,此时圆心是F′B的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点I, 旋转过程中,射线轴的交点由点到点的过程中,经过点三点的圆的圆心所经过的路径长为线段NI的长.

如图:旋转到射线经过点时,表示为∠E′CD′F′B的垂直平分线MIBC的垂直平分线NI交于点I, MIBN交于点 H′.

由题意得,A4,0),B0,4),AB的中点C2,2),

∴∠COF=45°,又∵∠OCE=45°,∴∠CFO=90°

过点CCA′x轴于点A′,即四边形A′OFC是边长为2的正方形.

A′O上截取A′G′=FF′,易证RtCA′G′RtCFF′,

CF′=C G′,A′CG′=FCF′,即∠F′CG′=90°.

A′G′=FF′=x,则O G′=2-xF′H=H G′=x+1.

RtOHG′中,∵OH2+ O G′2= H G′2,即12+2-x2=(x+1)2,

解得:x= .

F′B=4-2-=.MB= F′B ==MH′

在等腰直角三角形BM H′和等腰直角三角形 H′NI中,B H′=

BN=AB=×4=

NI=H′N=BN-B H′=- =.

故选:A.

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2)对于直线yax+b上的任意一点Mmn),都有点N3m2m3n)在它的互助直线上,试求点L5,﹣)到直线yax+b的直角距离.

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