Question

【题目】操作：如图①，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角：（1）角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

（2）若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点，连接MN。在图②中画出图形，再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系．

Answer 1

【答案】(1)、MN=BM+CN；证明过程见解析；(2)、MN=CN-BM；图形见解析.

【解析】

试题分析：(1)、延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，得出∠MBD=90°，结合BM=CE，BD=CD得出△CDE≌△BDM，从而得到∠CDE=∠BDM，DE=DM，然后得出△DMN≌△DEN，从而得出答案；(2)、根据题意画出图形，然后根据图形得出三边之间的关系.

试题解析：(1)、MN=BM+CN

如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN

(2)、如图 MN=CN-BM