Question

如图，将二次函数y=x²-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，求b的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：数形结合

分析：分类讨论：当直线y=x+b与y=x²-3（x＞

3

或x＜-

3

）有两个公共点时，x²-x-3-b=0，利用判别式的意义得到b＞

13

4

；根据图象，当直线y=x+b经过点（-

3

，0）与点（

3

，0）之间时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，把两点坐标代入y=x+b可得到b的范围．

解答：解：二次函数y=x²-3与x轴的交点坐标为（-

3

，0）、（

3

，0），
当直线y=x+b与y=x²-3（x＞

3

或x＜-

3

）有两个公共点时，x²-x-3-b=0，△=1-4（-3-b）＞0，解得b＞

13

4

；
当直线y=x+b经过点（-

3

，0）与点（

3

，0）之间时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，解得-

3

＜b＜

3

，
所以b的取值范围为b＞

13

4

或-

3

＜b＜

3

．
故答案为b＞

13

4

或-

3

＜b＜

3

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．