Question

在坐标系中，有一直角三角尺的直角顶点与原点O重合，旋转它时与抛物线y=x²交于点A、B，分别过A、B作x轴的垂线交x轴于点C、D．
（1）设A、B的横坐标分别为a、b，写出b与a之间的函数关系式；
（2）证明：AB必过y轴上一定点；
（3）设点E（x，y）是AB的中点，求y与x的关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）运用抛物线求出点A、B的坐标．再运用正切求出ab=-1．
（2）设y=mx+n，利用点坐标求出直线解析式，x=0时，y=1．即得AB必过y轴上一定点（0，1）；
（3）由点A、B的坐标．求出点E（x，y）是AB的中点，再由ab=-1．求出y与x的关系式．

解答：（1）解：∵抛物线y=x²，A、B的横坐标分别为a、b，
∴A（a，a²），B（b，b²）．
∵一直角三角尺的直角顶点与原点O重合，
∴tan∠AOC=tan∠OBD，即

AC

CO

=

OD

BD

，

a2

-a

=

b

b2

，
∴ab=-1．
（2）证明：设y=mx+n
∵A（a，a²），B（b，b²）．
∴

a2=ma+n b2=mb+n

，
解得

m=a+b n=-ab

，
∴y=（a+b）x-ab．
∴x=0时，y=1．
∴AB必过y轴上一定点（0，1）；
（3）解：∵A（a，a²），B（b，b²）．点E（x，y）是AB的中点，
∴x=

a+b

2

，y=

a2+b2

2

=

(a+b)2-2ab

2

，
∴y=2x²+1．

点评：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是求出ab=-1．