Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接DO，先可证明EC为⊙O的切线，然后依据切线长定理可得到DE=EC，然后再证明∠1=∠B，从而得到EB=ED，从而可证明DE=$\frac{1}{2}$ BC．
（2）由四边形ODEC为正方形，可得到DE=OC=EC=OD，从而可得到AC=2OC，BC=2EC，从而得到BC=AC，故此可证明△ABC是等腰直角三角形．

解答 解：（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线．
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED．
又∵∠EDO=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1+∠A=90°．
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠1=∠B，
∴EB=ED，
∴DE=$\frac{1}{2}$ BC．
（2）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ODEC为正方形，
∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．
∵DE=$\frac{1}{2}$ BC，AC=2OC，
∴BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评 本题主要考查的是切线的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．