Question

【题目】已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1） （2）当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A，B，C带入构造方程组，可求出a，b，c的值，得到抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P（5，3），使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵

∴解得：

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为；

（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点

的四边形为菱形，理由为：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，

∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，

∴点P的坐标为（5，3），

当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，

则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；