【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE最大.
①求点P的坐标和PE的最大值.
②在直线PD上是否存在点M,使点M在以AB为直径的圆上;若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)①,P② M(,)或(,)
【解析】
(1)先根据已知求点A的坐标,利用待定系数法求二次函数的解析式;
(2)①根据A(﹣2,6),B(1,0),求得AB的解析式为:y=﹣2x+2,设P(a,﹣a2﹣3a+4),则E(a,﹣2a+2),利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+,根据二次函数的图像与性质即求解;
②根据点M在以AB为直径的圆上,得到∠AMB=90°,即AM2+BM2=AB2,求出,,AB2故可列出方程求解.
解:(1)∵B(1,0)
∴OB=1,
∵OC=2OB=2,
∴BC=3 ,C(﹣2,0)
Rt△ABC中,tan∠ABC=2,
∴=2,
∴AC=6,
∴A(﹣2,6),
把A(﹣2,6)和B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4;
(2)①∵A(﹣2,6),B(1,0),
易得AB的解析式为:y=﹣2x+2,
设P(a,﹣a2﹣3a+4),则E(a,﹣2a+2),
∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+
∴当a=时,PE=,此时P(,)
②∵M在直线PD上,且P(,),
∴
+
AB2=32+62=45,
∵点M在以AB为直径的圆上
此时∠AMB=90°,
∴AM2+BM2=AB2,
∴++=45
解得: ,
∴M(,)或(,)
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【题目】已知抛物线与铀交于两点,与轴交于点,顶点为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若将抛物线沿轴平移后得到抛物线,抛物线经过点且与轴交于点,顶点为.在抛物线上是否存在一点使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
①4a+b=0;②9a+c>3b;③,3a+c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.⑤(m为任意实数)其中正确的结论有_____.(填序号)
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【题目】如图,在中,,是∠BAC的平分线,经过、两点的圆的圆心恰好落在上,分别与、相交于点、.
(1)判断直线与的位置关系并证明;
(2)若的半径为2,,求的长度.
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【题目】如图所示,半圆O的直径AB=4,=,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接CD,DB,OD.
(1)求证:△CDF≌△BDE;
(2)当AD= 时,四边形AODC是菱形;
(3)当AD= 时,四边形AEDF是正方形.
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA,PB,AB,已知∠PBA=∠C.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为,求BC的长.
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【题目】如图,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1;
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.
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【题目】如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且=,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F.
(1)求证:MF是⊙O的切线;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长是( )
A.B.C.D.
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