Question

【题目】如图，在中，，是∠BAC的平分线，经过、两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、.

（1）判断直线与的位置关系并证明；

（2）若的半径为2，，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）直线BC与⊙O相切，证明过程见解析;（2）．

【解析】

（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠CAD=∠ODA，进而得出，根据平行线的性质即可得出∠ODB=∠C=90°，则可证明直线BC与⊙O相切；

（2）首先根据可得出△BDO∽△BCA，进而有，从而求出BE的长度，然后利用勾股定理即可求出BD的长度．

解：（1）直线BC与⊙O相切，证明如下：

证明：连接OD．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切．

（2）由（1）知OD∥AC．

∴△BDO∽△BCA．

∴

∵⊙O的半径为2，

∴DO=OE=2，AE=4．

∴．

∴BE=2．

∴BO=4，

∴在Rt△BDO中，．