【题目】如图,△ABC中,∠ABC=90°
(1)在BC边上找一点P,作⊙P与AC,AB边都相切,与AC的切点为Q;(尺规作图,保留作图痕迹)
(2)若AB=4,AC=6,求第(1)题中所作圆的半径;
(3)连接BQ,第(2)题中的条件不变,求cos∠CBQ的值.
【答案】(1)见解析;(2)r=;(3)
【解析】
(1)作∠BAC的平分线交BC于点P,作PQ⊥AC于Q,以P为圆心,PQ为半径作⊙P即可.
(2)利用面积法求解即可.
(3)证明∠CBQ=∠BAP,可得cos∠CBQ=cos∠BAP=,由此计算即可.
解:(1)如图,⊙P即为所求.
(2)在Rt△ABC中,∵AB=4,AC=6,
∴BC==2
,
∵PA平分∠BAC,PB⊥BA,PQ⊥AC,
∴PB=PQ,设PB=PQ=r,
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴×4×2
=
×4×r+
×6×r,
∴r=.
(3)∵∠ABP=∠AQP=90°,AP=AP,PB=PQ,
∴Rt△APB≌Rt△APQ(HL),
∴AB=AQ,∵PB=PQ,
∴PA垂直平分线段BQ,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CBQ=∠BAP,
∴cos∠CBQ=cos∠BAP==
=
.
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【题目】已知关于x的方程(a﹣1)x2+2x+a﹣1=0.
(1)若该方程有一根为2,求a的值及方程的另一根;
(2)当a为何值时,方程仅有一个根?求出此时a的值及方程的根.
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【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
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【题目】已知矩形ABCD中,,
,现有两只蚂蚁P和Q同时分别从A、B出发,沿
方向前进,蚂蚁P每秒走1cm,蚂蚁Q每秒走2cm.问:
(1)蚂蚁出发后△PBQ第一次是等腰三角形需要爬行几秒?
(2)P、Q两只蚂蚁最快爬行几秒后,直线PQ与边AB平行?
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【题目】如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,OD2 = OB·OE.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
(2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD.
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【题目】如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数
的图象交于第二、四象限内的点
和点
.过点
作
轴的垂线,垂足为点
,
的面积为4.
(1)分别求出和
的值;
(2)结合图象直接写出的解集;
(3)在轴上取点
,使
取得最大值时,求出点
的坐标.
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【题目】如图, 抛物线与
轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与
轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包 含端点),则下列结论:①
;②
;③对于任意实数m,
总成立;④关于
的方程
有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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