Question

【题目】如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；
（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，

∴∠OAE=∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF；

（2）∵OE=OF，OB=OD，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形DEBF是矩形，

∴BD=EF，

∴OD=OB=OE=OF=BD，

∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．