Question

【题目】如图，OA是⊙M的直径，点B在x轴上，连接AB交⊙M于点C．

（1）若点A的坐标为（0，2），∠ABO=30°，求点B的坐标．

（2）若D为OB的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）B（2，0）；（2）见解析

【解析】分析：(1)由点A的坐标可知OA的长度，根据∠ABO的度数可知AB的长度为4，利用勾股定理即可求出OB的长度，从而求出B的坐标.

(2)连接OC、MC、证明∠OCB为直角,根据D为OB的中点，可知∠DCO=∠DOC，易知∠OCM=∠COM，所以∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°，即可求证MC⊥CD.

详解：（1）∵A的坐标为（0，2）

∴OA=2，

∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，

∴AB=2OA=4，

∴由勾股定理可知：OB=2，

∴B（2，0）

（2）连接OC，MC

∵OA是⊙M的直径，

∴∠ACO=90°，

∴∠OCB=90°，

在Rt△OCB中，D为OB的中点，

∴CD=OB=OD，

∴∠DCO=∠DOC，

∵MC=MO，

∴∠OCM=∠COM

∵∠MOC+∠DOC=∠AOB=90°，

∴∠MCO+∠DCO=∠MCD=90°

即MC⊥CD

∴直线CD是⊙M的切线．