Question

18．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

Answer 1

分析 首先过点B作BN∥AC交EM的延长线于点N，然后判断出BN=CF，BN=BE，即可判断出BE=CF；最后根据∠EFA=∠CFM，可得∠E=∠EFA，AE=AF，所以AB+AC=AB+（AF+CF）=AB+AE+CF=BE+CF，据此判断出BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）即可．

解答 证明：如图1，过点B作BN∥AC交EM的延长线于点N，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∵BN∥AC，
∴$\frac{BN}{CF}=\frac{BM}{CM}$=1，∠CFM=∠N，
∴BN=CF；
∵ME∥AD，
∴∠E=∠BAD，∠CFM=∠CAD，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠CFM，
又∵∠CFM=∠N，
∴∠E=∠N，
∴BN=BE，
∴BE=CF；
∵∠EFA=∠CFM，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AB+（AF+CF）=AB+AE+CF=BE+CF，
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．