如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=x2-2x-3和直线y=x-3经过点A.B.点P是直线AB上的动点.过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为t．(1)点A.B的坐标分别是.此结论可以如何验证?请你说出两种方法(2)若点P在线段AB上.连接AM.BM.当线段PM最长时.求△ABM的面积,(3)是否存在这样的点P.使得以点P.M.B.O为顶点的四边形为平行四边形?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3和直线y=x-3经过点A、B，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）点A、B的坐标分别是（3，0）、（0，-3），此结论可以如何验证？请你说出两种方法（不用写具体证明过程）
（2）若点P在线段AB上，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）一种方法是联立方程组求交点坐标，另一种方法是将点的坐标代入解析式即可；
（2）用含t的式子表示出点P，点M 的坐标，用含t的式子表示出PM的长，并求出PM最大时t的值，根据分割法求出△ABM的面积即可；
（3）根据点P的不同位置，分三种情况讨论：当0＜t≤3时；当t＞3时；当t＜0时；用含t的式子表示线段PM的值，根据平行四边形的判定方法，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，令PM=OB，求出t的值即可．

解答解：（1）方法一：联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，求交点坐标；
方法二：将点A（3，0），点B（0，-3）分别代入抛物线和直线的解析式，判断点A，点B是否在抛物线和直线上；
（2）由点P在直线ABy=x-3上，可得：当x=t时，y=t-3，即点P（t，t-3），
由点M在抛物线y=x²-2x-3上，可得：当x=t时，y=t²-2t-3，即点M（t，t²-2t-3），
当点P在线段AB上时，PM=t-3-（t²-2t-3）=t-3-t²⁺2t+3=-t²+3t=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，PM最大，最大值为$\frac{9}{4}$，
S_△ABM=S_△APM+S_△BPM=$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{3}{2}=\frac{27}{8}$；
（3）存在．
理由：当0＜t≤3时，如图1，
由题意，可知：OB∥PM，要使四边形OBPM是平行四边形，需满足OB=PM即可；
由（2）可知，PM的最大值为$\frac{9}{4}$，
所以PM总小于OB，
∴不存在这样的点P，使得四边形OBPM是平行四边形；
当t＞3时，如图2，
此时，PM=t²-2t-3-t+3=t²-3t，
由题意，可知：OB∥PM，要使四边形OBPM是平行四边形，需满足OB=PM即可；
即t²-3t=3，解得：${t}_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（不合题意，舍去）；
当t＜0时，如图3，
此时，PM=t²-2t-3-t+3=t²-3t，
由题意，可知：OB∥PM，要使四边形OBPM是平行四边形，需满足OB=PM即可；
即t²-3t=3，解得：${t}_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（不合题意，舍去），${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$；
综上所述，点P的横坐标是$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，此题的难点不大，第（2）小题，能熟练运用分割法求三角形的面积是解题的关键；第（3）小题，能够想到根据点P的不同位置进行分类讨论是解决此题关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

3．若一次函数y=kx+b的图象经过（-1，1），（0，m），（1，-5）三点，则m的值为（　　）

A．

-1

B．

-2

C．

D．

$\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

4．

如图，直线y=kx+b（k≠0），与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于第一象限内的A、B两点，已知点A的坐标为（3，4），OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求点B的坐标．
（2）直接写出使不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0成立的正整数x的值．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

1．下列式子中正确的是（　　）

A．

（-3）³=-9

B．

$\sqrt{（-4）^{2}}$=-4

C．

-|-5|=5

D．

（$\frac{1}{2}$）^-3=8

查看答案和解析>>