Question

15．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据等腰三角形的性质得OC⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到直线AB是⊙O的切线；
（2）作DH⊥OC于H，如图，先根据圆周角定理得到∠DCE=90°，利用tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{2}$和勾股定理计算出CD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，再证明∠CDH=∠E，接着在Rt△CDH中求出CH=$\frac{6}{5}$，则OH=OC-CH=$\frac{9}{5}$，然后根据平行线分线段成比例定理计算出OB=5，从而得到OA=5．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥OC于H，如图，
∵DE为直径，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
设CD=x，则CE=2x，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=6，解得x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ECO+∠OCD=90°，
而OE=OC，
∴∠E=∠ECO，
∴∠E+∠OCD=90°，
∵∠HCD+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠E，
在Rt△CDH中，tan∠CDH=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{1}{2}$，
设CH=t，则DH=2t，
∴CD=$\sqrt{5}$t，
∴$\sqrt{5}$t=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
∴CH=$\frac{6}{5}$，
∴OH=OC-CH=$\frac{9}{5}$，
∵DH∥BC，
∴$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，即$\frac{\frac{9}{5}}{3}$=$\frac{3}{OB}$，
∴OB=5，
∴OA=5．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了正切的定义和平行线分线段成比例定理．