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【题目】已知射线AB∥射线CDP为一动点,AE平分∠PABCE平分∠PCD,且AECE相交于点E.

(1)在图1,当点P运动到线段AC上时,APC=180°.

①直接写出∠AEC的度数;②求证:∠AEC=EAB+ECD

(2)当点P运动到图2的位置时,猜想∠AEC与∠APC之间的关系,并加以说明;

(3)当点P运动到图3的位置时,(2)中的结论是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出∠AEC与∠APC之间的关系,并加以证明。

【答案】1))①∠AEC=90°②见解析;(2)∠AEC=APC 理由见解析;3)不成立,AEC=180APC ,理由见解析

【解析】

1)①由平行线的性质可得出∠PAB+PCD=180°,进而可得出∠AEC的度数;

②在图1中,过EEFAB,根据平行线的性质可得出∠AEF=EAB、∠CEF=ECD,进而即可证出∠AEC=AEF+CEF=EAB+ECD

2)猜想:∠AEC=APC,由角平分线的定义可得出∠EAB=PAB、∠ECD=PCD,由(1)可知∠AEC=EAB+ECD、∠APC=PAB+PCD,进而即可得出∠AEC=(∠PAB+PCD=APC

3)在图3中,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180°-APC,过PPQAB,由平行线的性质可得出∠PAB+APQ=180°、∠CPQ+PCD=180°,进而可得出∠PAB+PCD=360°-APC,再由角平分线的定义可得出∠EAB=PAB、∠ECD=PCD,结合(1)的结论即可证出∠AEC=180°- APC

(1)①∵ABCD

∴∠PAB+PCD=180°

∴∠AEC=90°

②证明:在图1,EEFAB,则∠AEF=EAB.

ABCD

EFCD

∴∠CEF=ECD.

∴∠AEC=AEF+CEF=EAB+ECD.

(2)猜想:∠AEC=APC,理由如下:

AECE分别平分∠PAB和∠PCD

∴∠EAB=PAB,ECD=PCD.

(1)知∠AEC=EAB+ECD,∠APC=PAB+PCD

∴∠AEC=PAB+PCD= (PAB+PCD)= APC.

(3)在图3,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180APC

其证明过程是:

PPQAB,则∠PAB+APQ=180°.

ABCD

PQCD

∴∠CPQ+PCD=180.

∴∠PAB+APQ+CPQ+PCD=360°,即∠PAB+PCD=360°APC.

AECE分别平分∠PAB和∠PCD

∴∠EAB=PAB,ECD=PCD.

(1)知∠AEC=EAB+ECD

∴∠AEC=PAB+PCD= (PAB+PCD)= 180°- APC

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