Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．
（1）求b、c的值；
（2）将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A₁，顶点为M₁，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM₁的面积是△PAA₁面积的3倍，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）已知抛物线的解析式y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，
∴
解得：
∴b、c的值分别为-4，3；
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
可得旋转后C点的坐标为（4，1），
当x=4时，由y=x²-4x+3得y=3，
可知抛物线经过y=x²-4x+3经过点（4，3）
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C，
∴平移后的抛物线的解析式为y=x²-4x+1．
（3）∵点P在y=x²-4x+1上，可设P点的坐标为（x₀，x₀²-4x₀+1），
将y=x²-4x+1配方得y=（x-2）²-3
∴对称轴为x=2，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1 MM₁=AA₁=2
∴x₀＜2，
①当0＜x₀＜2时，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1，
×2×（2-x₀）=3××2×x₀，
解得：x₀=，
∴x₀=，此时x₀²-4x₀+1=-
∴点P的坐标为（，-），
②当x₀＜0时，
同理可得×2×（2-x₀）=3××2×（-x₀）
解得：x₀=-1，
∴x₀=-1，此时x₀²-4x₀+1=6，
∴点P的坐标为（-1，6），
综上所述，可知：点P的坐标为（，-）或（-1，6）．
分析：（1）直接将已知点的坐标代入到二次函数的解析式中求得未知系数的值即可；
（2）根据A、B两点的坐标可以求得OA和OB的长，然后根据旋转的性质求得点C的坐标，然后向下平移2个单位即可得到平移后的抛物线的解析式；
（3）设P点的坐标为（x₀，x₀²-4x₀+1），然后分0＜x₀＜2时和x₀＜0时两种情况利用S_△PMM1=3S_△PAA1得到有关x₀的方程求得x₀即可确定点P的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是本题中涉及到的求二次函数的解析式更是高频考点，在第（3）题中分两种情况讨论是解决本题的关键．