Question

4．如图，△ABC为等边三角形，BF平分∠ABC，D是BF上的一点，连接AD，以AD为边在AD的左侧作等边△ADE，连接EB．
（1）如图1，当E在BD上时，BE与ED的数量关系是BE=DE；
（2）如图2，当E在直线BD外时，（1）的结论是否成立，说明理由；
（3）当BD与BA满足什么条件时，以A，B，D，E为顶点的四边形为菱形，直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CD，根据的吧矩形的性质得到AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，推出∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，证得△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BE=CD，根据△ABD≌△CBD得到CD=AD，等量代换得到BE=ED；
（2）如图2，连接CD，根据的吧矩形的性质得到AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，推出∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，证得△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BE=CD，根据△ABD≌△CBD得到CD=AD，等量代换得到BE=ED；
（3）如图3，当E与C重合时，以A，B，D，E为顶点的四边形为菱形，根据菱形的性质得到AB=AD=BE=DE，AE垂直平分BD，解直角三角形得到BD=$\sqrt{3}$AB，于是得到结论．

解答 解：（1）BE=DE，
如图1，连接CD，
∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，
在△ABE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴CD=AD，
∴BE=ED；
故答案为：BE=DE；

（2）（1）的结论成立，
理由：如图2，连接CD，
∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAE=∠CAD=60°-∠CAE，
在△ABE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD，
∴CD=AD，
∴BE=ED；

（3）如图3，当E与C重合时，以A，B，D，E为顶点的四边形为菱形，
∵AB=AD=BE=DE，AE垂直平分BD，
∴BD=$\sqrt{3}$AB，
∴当BD=$\sqrt{3}$AB，以A，B，D，E为顶点的四边形为菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．