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    16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，点E在线段BC上，射线ED⊥AB于点D．
    （1）如图1，点F在线段DE上，过F作MN∥BC，M分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．
    ①试判断DG与NG有怎样的位置关系？直接写出你的结论；
    ②求证：∠1=∠2；
    （2）如图2，点F在线段ED的延长线上，过F作FN∥BC，M，N分别交AB、AC于点M、N，点G在线段AF上，且∠GFN=∠GNF，∠GDF=∠GFD．试探究DG与NG的位置关系，并说明理由．

    分析 （1）①先由MN∥BC得出∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，根据∠GFN=∠GNF可得出∠1=∠2，同理可得∠DAG=∠ADG，故∠2+∠ADG=∠BAC=45°，再由D⊥AB可知∠ADF=90°，故可得出∠GDF+∠GNM的度数，再由平行线的性质求出∠DFN的度数，根据四边形内角和定理即可得出结论；
    ②同①可得出结论；
    （2）由FN∥BC得出∠GNF+∠2=90°．在Rt△AFN中，由∠GFN+∠FAN=90°得出∠FAN=∠2，再根据ED⊥AB于D得出∠GDF+∠1=90°．在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°可得出∠1=∠3．同理∠FGD=∠1+∠3=2∠3．∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN，∠NGD=∠FGN-∠FGD=2∠BAC．在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理即可得出结论．

    解答 解：（1）①∵MN∥BC，
    ∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
    在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
    ∵∠GFN=∠GNF
    ∴∠1=∠2．
    同理可得，∠DAG=∠ADG，
    ∴∠2+∠ADG=∠BAC=45°，
    ∵DE⊥AB，
    ∴∠ADF=90°，
    ∴∠GDF+∠GNM=180°-45°=135°．
    ∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，DE⊥AB，
    ∴∠BED=45°，
    ∴∠DEC=135°．
    ∵MN∥BC，
    ∴∠DFN=135°，
    ∴∠DGN=360°-135°-135°=90°，即DG⊥NG．

    ②∵MN∥BC，
    ∴∠ANM=∠ACB=90°，即：∠GNF+∠2=90°．
    在Rt△AFN中，∠GFN+∠1=90°，
    ∵∠GFN=∠GNF
    ∴∠1=∠2．

    （2）DG⊥GN．
    理由如下：
    ∵FN∥BC，
    ∴∠ANF=∠ACB=90°，即∠GNF+∠2=90°．
    在Rt△AFN中，∠GFN+∠FAN=90°，
    ∵∠GFN=∠GNF
    ∴∠FAN=∠2．
    又∵ED⊥AB于D，
    ∴∠ADF=90°，即：∠GDF+∠1=90°．
    在Rt△AFD中，∠GFD+∠3=90°，
    ∵∠GDF=∠GFD，
    ∴∠1=∠3．
    在△AGD中，∠FGD=∠1+∠3=2∠3．
    在△AGN中，∠FGN=∠FAN+∠2=2∠FAN
    ∴∠NGD=∠FGN-∠FGD
    =2∠FAN-2∠3
    =2（∠FAN-∠3）
    =2∠BAC．
    在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
    ∴∠BAC=45°．
    ∴∠NGD=2∠BAC=90°，
    ∴DG⊥GN．

    点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理及直角三角形的性质、三角形外角的性质即可得出结论．

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