Question

1．如图所示，平行四边形OA₁B₁C中，OA₁=OC=1，∠A₁OC=60°，记为第一个平行四边形，A₂是对角线OB₁的中点，以OA₂和OC为边，再做平行四边形OA₂B₂C，依此类推，第三个平行四边形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$；第n个平行四边形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 连接A₁C，过A₁作A₁D⊥OC于D，由OA₁=OC=1，∠A₁OC=60°，求得A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到S${\;}_{平行四边形O{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于A₂是对角线OB₁的中点，求出A₂到OC的距离=$\frac{1}{2}$A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，于是得到第二个平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$S${\;}_{平行四边形O{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，即可找到规律得到结果．

解答 解：连接A₁C，过A₁作A₁D⊥OC于D，
∵OA₁=OC=1，∠A₁OC=60°，
∴A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S${\;}_{平行四边形O{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A₂是对角线OB₁的中点，
∴A₂到OC的距离=$\frac{1}{2}$A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴第二个平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$S${\;}_{平行四边形O{A}_{1}{B}_{1}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
∴第三个平行四边形的面积=$\frac{1}{2}$第二个平行四边形的面积=$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{3}}$，
∴第n个平行四边形的面积=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．