Question

6．如图，正方形OABC的面积为16，点O为坐标原点，点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点P（m，n）是双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为S．
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当S=8时，求点P的坐标；
（3）写出S与m的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先求出正方形的边长，然后根据反比例函数图象在第一象限写出点B的坐标，再根据待定系数法列式即可求出k值；
（2）①当点P在点B的左边时，矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为m（n-4），再根据反比例函数的性质，进行计算即可求解，②当点P在点B的右边时，矩形OEPF在正方形OABC之外部分的面积为4（4-n），再根据反比例函数的性质，进行计算即可求解；
（3）分点P在点B的左边与右边两种情况，结合反比例函数的性质，消去字母n，整理即可得到S与m的函数关系式．

解答 解：（1）∵正方形OABC的面积为16，
∴OA=OC=4，
∴B（4，4），
又∵点B（4，4）在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=16；
故点B的坐标是（4，4），k=16；

（2）分两种情况：
①当点P在点B的左侧时，
∵P（m，n）在函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=16，
∴S=m（n-4）=mn-4m=8，
解得m=2，
∴n=8，
∴点P的坐标是P（2，8）；
②当点P在点B的右侧时，
∵P（m，n）在函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=16，
∴S=4（4-n）=16-4n=8，
解得n=2，
∴$\frac{16}{m}$=2，
解得m=8，
∴点P的坐标是P（8，2），
综上所述：P（2，8），（8，2）．

（3）当0＜m＜4时，点P在点B的左边，此时S=16-4m，
当m≥4时，点P在点B的右边，此时S=16-4n=16-4×$\frac{16}{m}$=16-$\frac{64}{m}$．

点评 本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况，并且不重叠部分有两部分，进行讨论求解，避免漏解而导致出错．